GRADIENT DE GRAVITE

CONTENU : Mise à jour janvier 2006, sept 2011

 

I Mise en évidence du phénomène

II Equations du mouvement dû au seul gradient de gravité

III Remarques et commentaires

IV SIMULATION MATLAB-SIMULINK et RESULTATS

 

 

 

Depuis presque toujours on a tendance à confondre centre d'inertie et "centre de gravité", une vieille erreur qui peut laisser supposer que la résultante des forces de gravitation passe par le centre d'inertie et par conséquent ne crée pas de couple autour de ce centre d'inertie G.

Cette fausse idée vient de la confusion pesanteur et gravitation comme on va pouvoir s'en convaincre par la suite.

I Mise en évidence du phénomène :

Le gradient de gravité a pour origine l'attraction différentielle qui s'exerce sur des masses situées à des distances différentes du centre de la Terre.

Naturellement nous supposons que le potentiel terrestre est newtonien.

La figure présente 2 cas: l'haltère simple et le satellite réel. Vous commencerez par le cas simple et adapterez la méthode au cas général. Sur l'haltère constituée de 2 masses ponctuelles m reliées par une tige sans masse, on pourra

a) Vérifier l'existence de 2 positions d'équilibre

b) Montrer que le couple de rappel en G vaut :

I = 2 m l2 est le moment d'inertie transverse en G, m = 39.86 104 km3s-2 est la constante de gravitation terrestre. La gravitation permet donc de créer un rappel élastique comme un ressort . Vous calculerez le potentiel U(q) et exprimerez que le couple vaut :

un développement limité judicieux fera apparaître le résultat.

c) Essayer d'évaluer l'ordre de grandeur pour une orbite basse

d) Calcul du couple de gradient de gravité sur un satellite quelconque

Données : M masse du satellite

I matrice principale d'inertie en G du satellite, la pulsation orbitale wo sur le cercle de rayon r, Z a matrice des cosinus directeurs de l'axe , géocentrique du repère orbital, exprimés sur les axes satellite x y z.

Conseils:

1- Poser de composantes x, y, z dans le repère satellite Rs

2- Calculer la force élémentaire df

3- Etablir le couple élémentaire

4- Effectuer un développement limité pour établir

où c désigne l'angle OGM

5- Vous utiliserez les coordonnées x y z puis vos connaissances sur le centre d'inertie et les moments d'inertie d'un solide par rapport à ses axes principaux pour conclure:

6- Le calcul de a, b, g cosinus directeurs de Z donne sur x y z

7- Le couple de gradient de gravité vaut exprimé en axes satellite ( NB: avec les angles de Cardan, voir définition ):

8- Pour de petits angles en contrôle d'attitude notamment en ne gardant que les termes d'ordre 1

Voir la solution

II Equations des oscillations libres du satellite autour du centre d'inertie G :

Vous établirez à l'aide du théorème du moment cinétique en projection sur x y z les 3 équations linéarisées suivantes ( angles supposés petits ):

Telles sont les équations de départ du contrôle d'attitude, que le SCAO devra prendre en compte comme dynamique libre du satellite, sous la seule action du gradient de gravité

III Remarques et commentaires pratiques :

Il apparaît de toute évidence que le mouvement de tangage est découplé des 2 autres mouvements, ce qui est une simplification appréciable pour le SCAO.

De même la condition de stabilité en tangage est claire: IL < IR

Par ailleurs les équations ROULIS-LACET sont couplées par des termes de type gyroscopique n'apportant pas de dissipation d'énergie et stabilisant le système. Ces termes sont ceux contenant les dérivées du premier ordre.

Une étude plus fine et complète de la stabilité du système conduit au diagramme plan de stabilité de la page suivante, où sont portées comme coordonnées les quantités l1 et l2.

En pratique lors du dimensionnement de mâts en particulier on choisit la configuration la plus sûre:

Conclusions

Une configuration stable du satellite est obtenue avec

IL < IR < IT

Axe de petite inertie suivant la géocentrique locale

Axe de grande inertie normal au plan orbital

Axe d'inertie moyenne suivant la tangente à l'orbite

Nécessité de prévoir un amortissement des oscillations

On notera que les termes de rappel élastique sont d'autant plus importants que les moments d'inertie sont différents. Cette remarque amène à choisir un mât qui déploie une masse m à son extrémité, mât déroulé suivant l'axe de lacet. Vous aurez ainsi l'occasion de faire un choix technologique de type de mât.

On comprendra aussi que IT = IR rend le lacet incontrôlable du moins en oscillations libres.

IV SIMULATION MATLAB-SIMULINK ET RESULTATS DES OSCILLATIONS LIBRES:

1°) Programmes: Récupérables en téléchargement sous gradient_libre.zip

a.     libr_dat.m ---> programme d'initialisation, dans lequel on donne l'orbite circulaire et les inerties

b.     libr_sim ----> schéma bloc de la simulation sous Simulink, avec sorties des angles et dec leur dérivée

c.     libr_vis ---> programme de visualisation des résultats

Le bloc libr_sim.m se présente sous la forme :

Cas d'école avec les moments d'inertie vérifiant:

IL < IR < IT

Donc stabilité sur les 3 angles ce qui apparaît nettement sur les graphes.

 

Mécaniciens ou mathématiciens curieux pourront vérifier les périodes propres, pour une orbite à 470 km du sol terrestre.

Ce cas d'étude correspond à Ir=It=130.7 & It=1.6 donc à un solide très long en forme de crayon.

 

 

Roulis et tangage sont stables alors que le lacet est incontrôlable. Ce qui est prévu par la théorie.

Autre cas d'école avec les moments d'inertie vérifiant:

IL < IR < IT

Avec un couple perturbateur, par exemple aérodynamique, agissant uniquement sur le tangage.

On constate alors un décalage de la position moyenne d'oscillations en tangage.

 

NB: La mise en place ou non du couple est réalisée par le gain, mis à 1 ou 0.

 

 

 V EXEMPLE D'AMORTISSEMENT EN UTILISANT LE CHAMP MAGNETIQUE TERRESTRE:

1°) Généralités :

Il apparaît clairement que pour des usages particuliers ( imagerie sommaire, radio amateurs ...) pour lesquels le pointage d'un axe peut supporter une erreur de 5° maximum, un SCAO simple peut être envisagé.

Une idée consiste à utiliser le champ magnétique terrestre pour créerà l'aide de bobines d'induction ( Magnéto-coupleurs)

Guiziou Robert janvier 2006, sept 2011